اثبات رياضي

[laplac]

اثبات رياضي معروف .. بس لقيت انة رخم شوية

لو كان عندك مثلث طول أضلاعة a و b و c
اثبت أن
Area of triangle = root of (s (s-a)(s-b)(s-c)) l
حيث
s = (a+b+c)/2

root of يعني جذر
ملاحظة : المثلث في الحالة العامة و ليس لة أي حالة خاصة

[almaeihm]

السلام عليكم...

صباح الفل يا أستاذ laplac... و بصراحة أنا سعيد لرؤية موضوع مذيل بتوقيعك (<== أجنن و أنا اتكلم فصحى :))... بس للأسف زي ما انت عارف أنا بأكره الإثباتات الرياضية...

و لكن علشان ده اول موضوع انت تكتبه بعد انقطاع طويل... فأنا هأحاول اعمل الإثبات و ربنا يسهل :)...

في البداية.. خلينا نرجع للصيغة التقليدية لإيجاد المساحة.. و اللي هي نص القاعدة في الإرتفاع... و بالنظر للرسم هنلاقيها بتساوي:

http://i20.photobucket.com/albums/b246/almaeihm/DVD4Arabs/Triangle-laplac.gif

A = 0.5ch

و لاحظ هنا ان h تبقى إرتفاع المثلث...

طيب الارتفاع ده بيقسم القاعدة لجزءين.. خلينا نسميهم e و f... و بالتالي أنا أصبح عندي مثلثين قائمي الزاوية ملتصقين ببعض... و ممكن دلوقت نطبق نظرية فيثاغورس (اللي أنا مسترخم أمه :))... و هنحصل على معادلتين:

a^2 = h^2 + e^2
b^2 = h^2 + f^2

كده أنا دخلت نفسي في شبه متاهة.. لأن المجاهيل كثير... و علشان كده هنجيب مجهول بدلالة الآخر...

f = c – e
f^2 = c^2 – 2ce + e^2

نعوض بقيمة الـ f^2 في المعادلة الثانية... و هنلاقي:

b^2 = h^2 + c^2 – 2ce + e^2

و منها نجيب الـ h^2:

h^2 = b^2 – c^2 + 2ce – e^2

طيب دلوقت نعوض بقيمة الـ h^2 في المعادلة الأولى:

a^2 = b^2 – c^2 + 2ce – e^2 + e^2

و بالتالي فأن e ممكن أن نعبر عنها بالطريقة التالية:

e = (a^2 – b^2 + c^2)/2c

بس خلاص كده علشان أنا تعبت... و بعدين أنا نسيت أنا كنت عايز أعمل أيه... يعني أنا ليه جبت قيمة الـ e؟؟ :)

هأبقى أكمل بعدين يا laplac لو افتكرت

تحياتي

[almaeihm]

آه يا laplac أنا افتكرت أنا كنت عايز أعمل أيه...

احنا من المعادلة الأولى عندنا:

h^2 = a^2 – e^2

و ممكن كمان نحللها و نكتبها كده:

h^2 = (a + e) * (a – e)...i

طيب دلوقت نعوض بقيمو الـ e اللي انا جبتها في الرد السابق و نسيت ليه :):

h^2 = {a + [(a^2 – b^2 + c^2)/2c]} * {a - [(a^2 – b^2 + c^2)/2c]}...i

يا سااااااااتر... معادلة ثقيلة دم بصحيح... خلينا نجرب نبسطها شوية.. ممكن في البداية نوحد المقامات:

h^2 = [(2ac + a^2 – b^2 + c^2)/2c] * [(2ac - a^2 – b^2 + c^2)/2c]...i

h^2 = [(2ac + a^2 – b^2 + c^2) * (2ac - a^2 – b^2 + c^2)]/4c^2

ممكن كمان نبسطها بعمل تحليل و أقواس:

h^2 = {[(a + c)^2 – b^2] * [b^2 – (a – c)^2]}/4c^2

ممكن كمان نحلل المعادلة:

h^2 = [(a + c + b) * (a + c – b) * (b + a – c) * (b – a + c)]/4c^2

طيب انت قلت لنا عن قيمة الـ s... و بالتالي:

2s = a + b + c
2x(s - a) = - a + b + c
2x(s - b) = a - b + c
2x(s - c) = a + b - c

و دلوقت خلونا نعوض بالقيم الجميلة دي في المعادلة الأخيرة بتاعة الـ h:

h^2 = [2s * 2(s – a) * 2(s – b) * 2(s – c)]/4c^2

h^2 = [4s * (s – a) * (s – b) * (s – c)]/c^2

و بكده نستنتج أن الإرتفاع يساوي:

h = root of {[4s * (s – a) * (s – b) * (s – c)]/c^2}

h = (2/c) * root of [s * (s – a) * (s – b) * (s – c)]...i

طيب الصيغة الأساسية تبع المساحة لازم نرجع لها ثاني و نعوض بقيمة الـ h اللي لسه مطلعينها:

A = 0.5ch

A = 0.5c * {(2/c) * root of [s * (s – a) * (s – b) * (s – c)]}...i

نعمل لنا شوية اختصارات و هنلاقي ان:

A = root of [s * (s – a) * (s – b) * (s – c)]...i

يبقى احنا وصلنا للمطلوب... و منك لله يا laplac :)...

تحياتي

[طه محسن]

مش مخليلنا حاجة خالص يا (هاشمتو) .. منك لله !! :)

[laplac]

آه يا laplac أنا افتكرت أنا كنت عايز أعمل أيه...

احنا من المعادلة الأولى عندنا:

h^2 = a^2 – e^2

و ممكن كمان نحللها و نكتبها كده:

h^2 = (a + e) * (a – e)...i

طيب دلوقت نعوض بقيمو الـ e اللي انا جبتها في الرد السابق و نسيت ليه :):

h^2 = {a + [(a^2 – b^2 + c^2)/2c]} * {a - [(a^2 – b^2 + c^2)/2c]}...i

يا سااااااااتر... معادلة ثقيلة دم بصحيح... خلينا نجرب نبسطها شوية.. ممكن في البداية نوحد المقامات:

h^2 = [(2ac + a^2 – b^2 + c^2)/2c] * [(2ac - a^2 – b^2 + c^2)/2c]...i

h^2 = [(2ac + a^2 – b^2 + c^2) * (2ac - a^2 – b^2 + c^2)]/4c^2

ممكن كمان نبسطها بعمل تحليل و أقواس:

h^2 = {[(a + c)^2 – b^2] * [b^2 – (a – c)^2]}/4c^2

ممكن كمان نحلل المعادلة:

h^2 = [(a + c + b) * (a + c – b) * (b + a – c) * (b – a + c)]/4c^2

طيب انت قلت لنا عن قيمة الـ s... و بالتالي:

2s = a + b + c
2x(s - a) = - a + b + c
2x(s - b) = a - b + c
2x(s - c) = a + b - c

و دلوقت خلونا نعوض بالقيم الجميلة دي في المعادلة الأخيرة بتاعة الـ h:

h^2 = [2s * 2(s – a) * 2(s – b) * 2(s – c)]/4c^2

h^2 = [4s * (s – a) * (s – b) * (s – c)]/c^2

و بكده نستنتج أن الإرتفاع يساوي:

h = root of {[4s * (s – a) * (s – b) * (s – c)]/c^2}

h = (2/c) * root of [s * (s – a) * (s – b) * (s – c)]...i

طيب الصيغة الأساسية تبع المساحة لازم نرجع لها ثاني و نعوض بقيمة الـ h اللي لسه مطلعينها:

A = 0.5ch

A = 0.5c * {(2/c) * root of [s * (s – a) * (s – b) * (s – c)]}...i

نعمل لنا شوية اختصارات و هنلاقي ان:

A = root of [s * (s – a) * (s – b) * (s – c)]...i

يبقى احنا وصلنا للمطلوب... و منك لله يا laplac :)...

تحياتي

أومال لو كنت بتحب الاثباتات الرياضية كنت عملت اية .. مع ان عندك بعض الاخطاء اظني املائية معلم عليها بالاحمر بس انت صلحتها بعديها بخطوة على طول .. فواضح ان الخطأ جه من كتر الكتابة بس .


مش مخليلنا حاجة خالص يا (هاشمتو) .. منك لله !!



أنا كنت عامل حسابي على ان هاشمتو مبيحبش الاثباتات . بس طلع مبيفرقش مع الدكاترة دي حاجة ;)
و على فكرة الاثبات ده لية أكتر من حل ... هاشمتو مشي بفيثاغورث ( مع انة مش بيحبوا ) :) و لية اثبات كمان و قانون ال cosin للمثلث .

و يبقى اللغز من نصيب الدكتور almaeihm

[طه محسن]

الله !!! هو هاشمتو طلع دكتور برضه ... يعني معانا 2 دكاترة هنا !!!

ربنا يعينا علي ألغازهم :)